Get-Processなどで扱う.NETのSystem.Diagnostics.Processオブジェクトは、プロセスを起動したユーザー名を取得することが出来なかったと思います。
WMIのWin32_ProcessオブジェクトだとGetOwner()メソッドにより取得できるので、こちらを利用してみてはいかがでしょうか。
プロセスの終了はTerminate()メソッドで可能です。
Get-WmiObject Win32_Process|
where {$_.GetOwner().User -eq "ユーザー名"}|
where {$_.Name -eq "プロセス名"}|
foreach {$_.Terminate()|Out-Null}