Ciao agierre.
La tua intuizione è esatta: devi prima rimuovere completamente Office 2003 e poi installare Office 2016. Esiste un tool di Microsoft per eseguire la rimozione completa di Office 2003: lo trovi all'indirizzo https://support.microsoft.com/it-it/help/2639197/how-to-uninstall-or-remove-microsoft-office-2003-suites.
Ciao.
Luigi Bruno MCP, MCTS, MOS, MTA