Runメソッドの代わりに、Execメソッドを用いてみてはいかがでしょうか。こちらだと標準出力経由でコマンドの実行結果を取得できます。
日付時刻を表す文字列だけ出力したいので、Select-Objectの-ExpandPropertyパラメータを利用すると良いでしょう。あとpowershell.exeのバージョン情報等が出力されないように-NoLogoパラメータを付与します。
それとExecメソッドは非同期的に実行されるので、終了を待機するのにWin32APIのSleep関数を使います。
まとめると以下のような感じになると思います。
Private Declare Sub Sleep Lib "kernel32" (ByVal dwMilliseconds As Long)
Private Sub test()
Dim cmdStr1 As String, cmdStr2 As String
cmdStr1 = "Get-Item ""F:\VBA\02\aaa\111.txt"" | Select-Object -ExpandProperty LastWriteTime"
cmdStr2 = "Get-Item ""F:\VBA\02\bbb\111.txt"" | Select-Object -ExpandProperty LastWriteTime"
Dim a1 As String, a2 As String
a1 = ExecCommand(cmdStr1)
a2 = ExecCommand(cmdStr2)
If a1 <> a2 Then
MsgBox "NG"
End If
End Sub
Private Function ExecCommand(command As String) As String
Dim oExec As Object
Set oExec = CreateObject("Wscript.shell").Exec("powershell -NoLogo -ExecutionPolicy RemoteSigned -Command " & command)
Do While oExec.Status = 0
Sleep 100
Loop
ExecCommand = oExec.StdOut.ReadAll
End Function
