ヘルプに記載されているコマンドレット構文中に、-ArgumentList <string[]>のような記載があるかと思いますが、これは「-ArgumentListパラメータにはstring配列型の値を指定可能」という意味になります。
コマンドライン引数は半角スペース区切りで認識されるので、半角スペースで分割した文字列配列を指定することになります。PowerShellで配列を記述するには、値同士を,で繋ぎます。またPowerShellのコマンドレットに指定するパラメータ値は文字列を""でくくらなくても基本はOKですが、-などのいくつかの記号から始まる文字列は""で括る必要があります。
したがって以下のようになるでしょうか。
Start-Process -FilePath "H:\Program Files (x86)\hogehoge.exe" -ArgumentList "-userID",matsui,"-password",55,"-server",nagashima, "<<","C:\Users\Desktop\国民栄誉賞.txt"
（<< というのはhogehoge.exeの引数と解釈しましたが、もしかして入力リダイレクトを意味しているのでしょうか？だとするとこれではダメかと思いますが…）
exeを起動するだけならばStart-Processを使わず、直接
&"H:\Program Files (x86)\hogehoge.exe" -userID matsui -password 55 -server nagashima "<<" C:\Users\Desktop\国民栄誉賞.txt
と指定してやっても動くかと思います。
パスに半角スペースを含むexeを実行する場合は、パスを""で括り実行演算子&をつけます。またこの場合も<<を入力リダイレクトと認識しないように""でくくっておきます。
なお今回は大丈夫そうですが、たとえばコマンドプロンプトでは
hoge.exe -p "hikisuu"
のように""でくくられた引数を渡す場合は、PowerShellで同じようにするにはさらに注意が必要です。""でくくられた引数はその内部の文字列（ここでは「hikisuu」）がexeに渡されます。したがって""も含めてexeに渡したい場合は、
hoge.exe -p `"hikisuu`"
のように"をエスケープ文字`を使ってエスケープしてやるか、
hoge.exe -p '"hikisuu"'
のように引数全体をさらに文字列引用符''でくくる必要があります。
