スクリーンショット確認しました。faviconのことですね。
SSDや機種に依存していることはないと思います。
以下の操作をしてみてはいかがでしょうか。
「・・・」→「設定」→「プライバシーとセキュリティ」タブ→「クリアするデータの選択」ボタン
を選択していただきデフォルトで5項目程チェックされている状態で「クリア」ボタンを押してみてはいかがでしょうか。
それでも表示されなければfaviconが表示されていないお気に入りに飛んで再度お気に入りに追加してみましょう。
後は新しいEdgeに入れ替えてみるかです。
(これでもfaviconが表示されていない可能性があるので、再度お気に入り登録すれば直るかもです。)
https://www.microsoft.com/ja-jp/edge